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Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regression
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connie2
Gast


Verfasst am:
10. Apr 2008, 14:56
Rufname:

Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regression - Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regression

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       Version: Office 2003

Ich habe verschiedene x- und y-Werte, aus denen ich mir ein Punkt-Diagramm erstellt habe. Nach Hineinlegen einer potentiellen Trendlinie konnte ich mir ebenfalls die Gleichung der Form y=a*x^n anzeigen lassen.

Meine Frage ist:
Wie kann ich mir diese Gleichung selbst mathematisch ermitteln, da ich den Exponenten n für meine weiteren Berechnungen benötige? Oder gibt es dafür eine spezielle Formel (rgp gilt nur für die lineare Regression und rkp für die expnentielle Regression), die mir diese potentielle Regression ohne viel Aufwand ausgeben kann?

Vielen Dank für die Hilfe!
connie2
E4M
Excel-Moderator


Verfasst am:
14. Apr 2008, 21:07
Rufname:


AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio - AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio

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       Version: Office 2003

Hallo connie2,

anbei 2 Möglichkeiten:

ABCDEFG
1xy
22319,423082 a3,528120023,52812002
3429006,4373 n6,501958376,50195837
45123737,772
571102736,86
695649546,3
71361690614,6
816237931481
Formeln der Tabelle
E2 : =INDEX(RKP(B2:B8;LN(A2:A8);;WAHR);1;2)
F2 : =EXP(ACHSENABSCHNITT(LN(B2:B8);LN(A2:A8)))
E3 : =LN(INDEX(RKP(B2:B8;LN(A2:A8);;WAHR);1;1))
F3 : =STEIGUNG(LN(B2:B8);LN(A2:A8))
Excel Jeanie Html

Passt das?

Grüße

Andy
connie2
Gast


Verfasst am:
18. Apr 2008, 15:59
Rufname:

AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio - AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio

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       Version: Office 2003

Hat perfekt gepasst, vielen Dank! Damit kann ich auf jeden Fall perfekt weiterrechnen.
Durch deine Hilfe hast du mir Einiges an Arbeit erspart.

Nochmal herzlichen Dank!
connie2
Gast



Verfasst am:
18. Apr 2008, 16:01
Rufname:

AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio - AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio

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       Version: Office 2003

Kannst du mir vielleicht nochmal genau erklären, wie der Exponent durch die Formel mit der Steigung(ln(..);ln(..)) funktioniert.

Das mit den ln's ist mir noch klar (einfach nur die Formel nach n umgestellt), aber da müsste doch eigentlich noch lna vorkommen oder?)

Wäre auf jeden Fall nett, wenn du mir nochmal die genaue Rechnung erklären könntest, sofern das dir möglich ist.

Danke,
connie2
E4M
Excel-Moderator


Verfasst am:
18. Apr 2008, 23:47
Rufname:


AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio - AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio

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       Version: Office 2003

Hallo Connie2,

ist Dir die Methode der Kleinsten Quadrate bekannt?

Weitere Infos findest Du auch im Workshop: Regressionsanalyse.

Grüße

Andy
E4M
Excel-Moderator


Verfasst am:
19. Apr 2008, 20:34
Rufname:

AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio - AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio

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       Version: Office 2003

Hallo Connie2,

mein letzter Beitrag ist etwas missverständlich formuliert.
Die Frage zielt darauf ab, in wie weit Du mit der Regressionsanalyse vertraut bist,
damit ich einen Ansatzpunkt für die Erläuterung habe.

Grüße

Andy
Gast



Verfasst am:
26. Apr 2008, 14:12
Rufname:

AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio - AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio

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       Version: Office 2003

Ist schon klar, hatte nur in den letzten Tagen leider sehr wenig Zeit, um zu antworten. Sorry!

Mir ist die Regressionsanalyse selbst (und auch die Methode der kleinsten Quadrate) bekannt, nur kann ich aus der Formel nicht ganz erkennen, wie du auf diese Gleichung kommst.

1.) Was bedeutet denn z.B. der ln(a3:a10)? Ist das eine Summe/Produkt von ln's oder ist das nur jeder einzelne ln von a3 bis a10 (und das gleiche mit b3 bis b10), um diese Werte getrennt zu berechnen und anschließend aus diesen die Steigung zu ermitteln?
2.) Wenn ich mir die Gleichung y=a*x^n nach lny/lnx (das ist doch dann vermutlich die Steigung in deiner Formel!?) auflöse, erhalte ich doch eigentlich:
lny = ln(a*x)^n bzw. n*ln(a*x)
--> n = lny/ln(a*x)
Dann wäre aber doch der Exponent nicht nur von x- und y-Werten abhängig, sondern auch von a. Müsste dieser Teil dann nicht auch in der Formel erfasst sein?

Erstaunlicherweise passt aber der gesuchte Wert exakt mit der Geradengleichung aus dem erstellten Diagramm überein, leider kann ich mir, wie gesagt, einige Punkte nicht erklären.

Wäre nett, wenn du mir noch einmal weiterhelfen könntest!
connie2
Gast



Verfasst am:
26. Apr 2008, 14:14
Rufname:

AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio - AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio

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       Version: Office 2003

Sorry, muss gleich noch eine Frage loswerden:
Was genau hat es denn mit der Index-Formel auf sich? Hab diese jetzt schon öfter in den Lösungen gesehen, weiß aber nicht, wie man genau damit umgeht.

Ich hoffe, ich überfordere dich nicht mit meinen vielen Fragen Wink
connie2
E4M
Excel-Moderator


Verfasst am:
26. Apr 2008, 17:09
Rufname:

AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio - AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio

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       Version: Office 2003

Hallo connie,

zu 1.) ln(a3:a10) sind die um den natürlichen Logarithmus transformierten a3,...,a10.
Eine weitere Rechenoperation wird nicht durchgeführt.

zu 2.) Die Gleichung y=a*x^n wird nicht umgestellt, sondern es wird die
Methode der kleinsten Quadrate angewendet.

Bei einer linearen Einfachregression lautet die Ausgangsgleichung (ohne Indizes) y=a+bx.

Minimiert wird die Funktion K:
K(a,b)=sum(y-a-bx)^2 =>min(a,b)!

Partielles Ableiten, Nullsetzen, Normalgleichungen und Umformen ergibt:
a= yquer - b*xquer
b= Cov(x,y) / Var(x)
Bei der Berechnung von b wird a durch yquer - b*xquer ersetzt.

Bei der potentiellen Regression lautet die Ausgangsgleichung sagen wir mal:
v=c*w^d
Linearisieren:
ln(v) = ln(c)+d*ln(w)

Man kann nun die Methode der kleinsten Quadrate anwenden oder aber
Trick: Ersetzen
Setze:
ln(v) = y
ln(c) = a
d = b
ln(w) = x

und erhält
y=a+bx.

Hierfür haben wir bereits die KKM durchgeführt, so dass wir diese nicht noch einmal
berechnen brauchen. Aus den Ergebnisse folgt:
c=exp([ln(v)]quer-d*[ln(w)]quer)
d=Cov(lnv;lnw) / Var(lnx)

zu 3.) RGP und RKP sind Array-Funktionen (vgl. Excel-Hilfe!), welche im Fall eines
linear(isierbar)en Modells eine 5x2-Ergebnismatrix liefern können (Syntax STATS
auf WAHR oder 1 setzen!), welche Werte der Regressionskoeffizienten, Standardfehler, R^2 etc. enthält.

Mit INDEX kann nun JEDES Ergebnis EINZELN aus der Ergebnismatrix ausgelesen werden!


Passt das?

Grüße

Andy
Gast



Verfasst am:
26. Apr 2008, 18:13
Rufname:

AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio - AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio

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       Version: Office 2003

Hi,

die Erklärung ist spitze, vielen Dank schon einmal. Jetzt verstehe ich endlich die ganze Rechnung Smile

Leider stehe ich irgendwie noch auf dem Schlauch was den direkten Bezug zur Formel mit der Steigung anbelangt. Wenn ich es richtig sehe, brauche ich für meinen gesuchten Exponenten (in deinem Bsp. d) die Kovarianz der ln's / Varianz von lnx. Warum stecken dann die Kovarianz und die Varianz nicht in der Formel oder wird das über die "Steigung" abgedeckt?
Ist wahrscheinlich eine blöde Frage, aber irgendwie stehe ich da noch etwas auf dem Schlauch.
connie2
E4M
Excel-Moderator


Verfasst am:
26. Apr 2008, 18:20
Rufname:

AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio - AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio

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Hallo connie,

STEIGUNG ist der Name der Funktion, welche die Berechnung wie beschrieben
oder ähnlich ausführt. Du kannst auch schreiben:
Code:
{=KOVAR(LN(A2:A8);LN(B2:B8))/VARIANZEN(LN(A2:A8))}
Formel nicht mit Enter, sondern mit Strg+Shift+Enter abschließen.

Passt das?

Grüße

Andy
Gast



Verfasst am:
27. Apr 2008, 13:08
Rufname:

AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio - AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio

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       Version: Office 2003

Spitze, perfekt!

Vielen, vielen Dank noch einmal.
Kennst du außerdem vielleicht eine Möglichkeit, die wie der sverweis arbeitet, allerdings die Spalten nach links absucht?
Möchte nämlich gerne zu einem Max.-Wert aus Spalte C den passenden Wert aus A finden (Spalten sind fest vorgegeben, d.h. können nicht vertauscht werden).

Vielen Dank erneut Wink!
connie2
E4M
Excel-Moderator


Verfasst am:
27. Apr 2008, 13:19
Rufname:

AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio - AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio

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Hallo connie,

eine Möglichkeit ist:
Code:
=INDEX(A1:A5;VERGLEICH(MAX(C1:C5);C1:C5;0))
Passt das?

Grüße

Andy
Gast



Verfasst am:
29. Apr 2008, 12:07
Rufname:

AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio - AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio

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       Version: Office 2003

Passt schon wieder.

Nur, warum benutzt man in der Formel Index(Bezug,Zeile,Spalte) nicht als Zeile einfach max(C1:C5), sondern muss das mit vergleich(max(C1:C5);C1:C5;0) machen?

Das mit dem Bezug ist mir klar (A1:A5), aber den Verweis auf die Zeile kann ich mir leider nicht erklären.

connie2
E4M
Excel-Moderator


Verfasst am:
29. Apr 2008, 18:27
Rufname:


AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio - AW: Math. Bestimmung der Gleichung für potentielle Regressio

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       Version: Office 2003

Hallo Connie,

Max(C1:C5) gibt den (maximalen) Wert der gewünschten Zeile aus dem
Bereich C1:C5 an, jedoch nicht die Info über die zugehörige Zeile dieser Zelle in Spalte C.

Mit VERGLEICH(Max(C1:C5);C1:C5;0) erhältst Du nun die Zeile in Spalte C,
in der der maximale Wert steht. Diese kann schließlich in die INDEX-Funktion
implementiert werden.

Theoretisch gedacht:
1. Max(C1:C5) liefert nur dann den gleichen Wert wie VERGLEICH(Max(C1:C5);C1:C5;0),
wenn der Wert des Maximums der Zeile entspricht, in der dieser Wert steht.
Beispiel:
C1: =ZEILE(A1)
und herunterkopieren bis C5

2. Mit Max(C1:C5) wird die Zeile ausgegeben, zu der ein Verweis aufgebaut
werden soll. => Direkt in INDEX-Funktion einsetzbar.

Passt das?

Grüße

Andy
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