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AB2 - Aufgabe 5
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E4M
Excel-Moderator


Verfasst am:
24. Feb 2007, 17:38
Rufname:

AB2 - Aufgabe 5 - AB2 - Aufgabe 5

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Aufgabe 05
Lineare Regression: Berechnung der Residuen; Darstellung im Punkt(XY)-Diagramm; Bestimmtheitsmaß


Die in dieser Aufgabe dargestellten Zusammenhänge
sollen nicht bewiesen, sondern lediglich dargestellt werden.
Es ist daher nur wichtig, dass Ihr wißt, wie Ihr die Maße
berechnet! Die Aufgabenstellung, das Übersichtsblatt2
sowie die Excel Hilfe können Euch dabei weiterhelfen!


Weiterhin sei von den Angaben aus Aufgabe 01 ausgegangen.

a) Zur Berechnung der y-Werte, die genau auf der Regressionsgerade liegen,
können die in Aufgabe 04 b) genannten Excel-Funktionen verwendet werden. Diese Werte
werden im Folgenden mit yi^ bezeichnet, wobei das ^ andeutet, dass es sich um
geschätzte Werte handelt (aus der Methode der kleinsten Quadrate); kein Potenzzeichen!

Berechnen Sie yi^ für alle i = 1,2,…,10 sowie den Mittelwert von y^ (y^quer).
Was fällt ihnen im Vergleich mit Ihren Ergebnissen aus Aufgabe 04 a) bei y^quer auf?
ABCDEF
288 a)b)
289 ixiyiyi^ = a*xi + bui
290 14,360
291 24,655
292 34,850
293 44,456
294 55,148
295 65,641
296 74,754
297 8553
298 95,446
299 104,950
300
301Lösung:a)y^quer =
302
303 b)sum ui =
304 sum ui*xi =
305
306 d)s^2Y^ =
307 s^2U =
308 s^2Y =
309 s^2Y =
310 e)R^2 =
311 R^2 =
312 R^2 =
313 R^2 =
Excel Jeanie Html
b) Berechnen Sie die Abweichungen zwischen den yi-Werte und den yi^-Werten mit ui = yi - yi^.
Berechnen Sie die Summe der ui sowie die Summe aus xi*ui. Verwenden Sie zur
Berechnung der Summe xi*ui die Excel-Funktion SUMMENPRODUKT.
Was ergibt sich somit für deren Mittelwerte?

c) Stellen Sie die Residuen ui in Ihrem erarbeiteten Punkt(XY)-Diagramm mit Hilfe
des Fehlerindikators Y (Minus) grafisch dar.

d) Berechnen Sie die Varianz der exakt auf der Regressionsgeraden liegenden yi^ (s^2Y^)
sowie der Residuen ui (s^2U) mit Hilfe einer Ihnen bekannten Excel-Funktion.
    s^2Y^ nennt man auch den durch die Regression erklärten Teil der Varianz,
    s^U die Residualvarianz oder durch die Regression nicht erklärte Varianz
Beides sind VARIANZEN!.
Betrachten Sie auf dem Übersichtsblatt2 den Varianzzerlegungssatz.
Bestimmen Sie nach diesem s^2Y. Kontrollieren Sie Ihr Ergebnis mit Hilfe einer Ihnen
bekannten Excel-Funktion.

e) Betrachten Sie auf dem Übersichtblatt2 die Formeln für das Bestimmtheitsmaß R^2 an.
Berechnen Sie aus Ihren bisherigen Ergebnissen alle 3 Möglichkeiten zur Bestimmung von R^2.
Kontrollieren Sie anschließend Ihre Ergebnisse mit der Excel-Funktion BESTIMMTHEITSMASS
sowie dem im Diagramm darzustellenden Bestimmtheitsmaß.

f) Das Bestimmtheitsmaß kann Werte zwischen 0 <= R^2 <= 1 annehmen.
Wann gilt offenbar R^2 = 0 und R^2 = 1?
Hinweis: Beachten Sie die Formeln auf dem Übersichtsblatt 2 zur Berechnung von R^2.
tom_r
Anfänger


Verfasst am:
28. Feb 2007, 12:23
Rufname:
Wohnort: Pfungstadt

AW: AB2 - Aufgabe 5 - AW: AB2 - Aufgabe 5

Nach oben
       

Hier meine Lösungen.

die Aufgabe b) konnte ich mangels Verstehens/Wissen leider nicht komplett lösen Sad

<P><blockquote>
 BCDEFGH
320   a)b)Formel a)Formel b)
321ixiyiyi^ = a*xi + buiyi^ = a*xi + bui
32214,36058,657552081,342447917=(STEIGUNG($D$322:$D$331;$C$322:$C$331)*C322)+ACHSENABSCHNITT($D$322:$D$331;$C$322:$C$331)=D322-E322
32324,65554,903645830,096354167=(STEIGUNG($D$322:$D$331;$C$322:$C$331)*C323)+ACHSENABSCHNITT($D$322:$D$331;$C$322:$C$331)=D323-E323
32434,85052,40104167-2,401041667=(STEIGUNG($D$322:$D$331;$C$322:$C$331)*C324)+ACHSENABSCHNITT($D$322:$D$331;$C$322:$C$331)=D324-E324
32544,45657,40625-1,40625=(STEIGUNG($D$322:$D$331;$C$322:$C$331)*C325)+ACHSENABSCHNITT($D$322:$D$331;$C$322:$C$331)=D325-E325
32655,14948,647135420,352864583=(STEIGUNG($D$322:$D$331;$C$322:$C$331)*C326)+ACHSENABSCHNITT($D$322:$D$331;$C$322:$C$331)=D326-E326
32765,64142,390625-1,390625=(STEIGUNG($D$322:$D$331;$C$322:$C$331)*C327)+ACHSENABSCHNITT($D$322:$D$331;$C$322:$C$331)=D327-E327
32874,75453,652343750,34765625=(STEIGUNG($D$322:$D$331;$C$322:$C$331)*C328)+ACHSENABSCHNITT($D$322:$D$331;$C$322:$C$331)=D328-E328
329855349,89843753,1015625=(STEIGUNG($D$322:$D$331;$C$322:$C$331)*C329)+ACHSENABSCHNITT($D$322:$D$331;$C$322:$C$331)=D329-E329
33095,44644,893229171,106770833=(STEIGUNG($D$322:$D$331;$C$322:$C$331)*C330)+ACHSENABSCHNITT($D$322:$D$331;$C$322:$C$331)=D330-E330
331104,95051,14973958-1,149739583=(STEIGUNG($D$322:$D$331;$C$322:$C$331)*C331)+ACHSENABSCHNITT($D$322:$D$331;$C$322:$C$331)=D331-E331
</blockquote></P>




<P><blockquote>
 BCDEF
333a)y^quer = 51,4=MITTELWERT(E322:E331) 
334  y^quer = yquer  
335b)sum ui = -1,13687E-13=SUMME(F322:F331) 
336 sum ui*xi = -7,63833E-14=SUMMENPRODUKT(C322:C331*F322:F331) 
337     
338d)s^2Y^ = 24,05002604=VARIANZEN(E322:E331) 
339 s^2U = 2,389973958=VARIANZEN(F322:F331) 
340 s^2Y = 26,44=D338+D339 
341 s^2Y = 26,44=VARIANZEN(D322:D331) 
342e)R^2 = 0,909607642=D338/D341 
343 R^2 = 0,909607642=1-D339/D341 
344 R^2 = 0,909607642=KORREL(C322:C331;D322:D331)^2 
345 R^2 = 0,909607642=BESTIMMTHEITSMASS(D322:D331;C322:C331) 
</blockquote></P>



f) folgendes habe ich hierzu gefunden
Ein Bestimmtheitsmaß von 0 bedeutet, dass die Abweichung der Daten vom Mittelwert durch die Regressionsgerade nicht erklärt werden kann


Gruß

Thomas
E4M
Excel-Moderator


Verfasst am:
28. Feb 2007, 15:55
Rufname:


AW: AB2 - Aufgabe 5 - AW: AB2 - Aufgabe 5

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Hi Thomas,

auch hier sind alle Lösungen richtig!
(Thomas hat mit y5 = 49 gerechnet!)

Ergänzungen:
b) Wenn sum ui = 0 bzw. sum ui*xi = 0 (also die Merkmalssumme null) ist,
welches Ergebnis liefert der Mittelwert von ui (uquer) bzw. der
Mittelwert von ui*xi?
Diese "Erkenntnis" wird benötigt, um den Varianzzerlegungssatz
herzuleiten. Werden wir hier nicht machen; dennoch sollten wir auf
das Ergebnis kommen!


f) R^2=0: aus den Formeln erkennt man, dass dann s^2Y^=0 sein muss
bzw. S^2U = s^2Y bzw. rXY = sXY = 0. Weiter kann man erkennen (nicht
verlangt), dass die Steigung b = 0 ist, da sXY = 0. Daraus folgt, dass der
Achsenabschnitt a = yquer ist. Die Regressionsgleichung lautet demnach
y = a = yquer und verläuft parallel zur x-Achse, die Variation der y-Werte
wird nicht mehr durch die der x-Werte erklärt.

R^2=1: Daraus folgt: s^2Y^ = S^2Y bzw. s^2U = 0 bzw. rxy = 1. Dies
ist der Fall, wenn alle Residuen ui gleich null sind, d.h. alle Punkte (xi;yi)
liegen genau auf der Regressionsgeraden, so dass yi = yi^ gilt.

Grüße

Andy
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